コンパスだけで中点の作図

1. Aを中心に、Bを通る円をかきます。
2. Bを中心に、Aを通る円をかき、2つの円の交点（上側）をPとします。
3. Pを中心に、Aを通る円をかき、Bを中心とする円との交点（A ではない方）をQとします。
4. Qを中心に、Pを通る円をかき、Bを中心とする円との交点（P ではない方）をDとします。A、B、Dは一直線に並び、AD = 2AB です。
5. Dを中心に、Aを通る円をかき、Aを中心とする円との交点をE、Fとします。
6. Eを中心に、Aを通る円をかきます。
7. Fを中心に、Aを通る円をかけば、A ではない方の交点がABの中点Mです。

Bを中心とする円の上を、半径と同じ幅で A → P → Q → D と3回進むと、ちょうど半周（60° × 3 = 180°）して、Aの反対側の点Dに着きます。だから AD = 2AB です。

Mは、直線EFについてAと線対称な点です。A、M、Dはすべて直線EFに垂直な1本の直線（直線AB）の上にあります。

三角形DAEは DA = DE の二等辺三角形、三角形EAMは EA = EM の二等辺三角形で、底角 ∠EAD を共有しているので相似です。よって AM : AE = AE : AD、つまり AM = AB² ÷ 2AB = AB ÷ 2 となり、MはABの中点です。