正五角形の作図

1. Rは直線ℓと円の交点です。Rを中心に、Oを通る円をかきます。
2. 円どうしの交点を結ぶと、ORの垂直二等分線です。ℓとの交点をMとします。（OM は半径の半分）
3. Mを中心に、Aを通る円をかき、ℓとの交点（左側）をNとします。
4. Aを中心に、Nを通る円をかき、もとの円との交点をB、Eとします。ANが正五角形の1辺の長さです。
5. Bを中心に、Aを通る円をかき、もとの円との交点（A ではない方）をCとします。
6. Eを中心に、Aを通る円をかき、もとの円との交点（A ではない方）をDとします。
7. AとBを結びます。
8. BとCを結びます。
9. CとDを結びます。
10. DとEを結びます。
11. EとAを結べば、正五角形の完成です。

半径を1とすると、OM = 1/2、OA = 1 なので MA = MN = √5/2、ON = (√5 − 1)/2 です。

三平方の定理より AN² = ON² + OA² = (6 − 2√5)/4 + 1 = (5 − √5)/2 です。

一方、半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さは 2 sin 36° で、その2乗もちょうど (5 − √5)/2 になります。だからANは正五角形の1辺に等しく、円周をこの長さで区切っていくと正五角形が得られます。

ちなみに ON = (√5 − 1)/2 ≒ 0.618 は、同じ円に内接する正十角形の1辺の長さで、黄金比の逆数でもあります。