作図できない問題

コンパスと定規があれば、正三角形も正五角形も、黄金比も作図できます。それなら、どんな図形でも作図できるのでしょうか。実は、2000年以上も人々を悩ませた末に「絶対にできない」と証明された問題があります。

古代ギリシャの三大作図問題

古代ギリシャの数学者たちは、次の3つの問題をコンパスと定規だけで解こうとしました。

• 角の三等分：どんな角でも、3つの等しい角に分ける。
• 立方体の倍積：ある立方体の2倍の体積をもつ立方体の1辺を作る（1辺が ∛2 倍の線分を作る）。
• 円積問題：ある円と同じ面積の正方形を作る（長さ √π の線分を作る）。

角の二等分は簡単なのに、三等分は誰にもできませんでした。

なぜできないのか

作図で新しい点ができるのは、直線と直線、直線と円、円と円の交点だけです。これを式で表すと、交点の座標は、もとの長さから「たし算・ひき算・かけ算・わり算」と「平方根（√）」をくり返して作れる数になります。

つまり、作図できる長さは、四則演算と √ の組み合わせで表せる数に限られます。ところが ∛2 は、この形ではけっして表せません。1837年、フランスのヴァンツェルがこのことを証明し、立方体の倍積が不可能だと示しました。同じ考え方で、たとえば 60° の角を三等分すること（20° の角を作ること）もできないとわかり、角の三等分の一般的な方法は存在しないことが示されました。

円積問題は、1882年にリンデマンが「π は超越数（どんな整数係数の方程式の解にもならない数）である」ことを証明して、不可能だと決着しました。

作図できる正多角形

正三角形、正方形、正五角形、正六角形は作図できます。では正七角形は？ 実は作図できません。

1796年、18歳のガウスは正十七角形が作図できることを発見しました。ガウスはこの発見がとてもうれしく、数学者になる決心をしたといわれています。

正n角形が作図できるのは、n が「2のべき乗」と「異なるフェルマー素数（3, 5, 17, 257, 65537）」のかけ算で表せるときだけです。20以下で作図できるのは次の11種類です。

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19 の正多角形は、コンパスと定規では作図できません。

ルールを変えると…

折り紙を使うと、角の三等分も立方体の倍積もできることが知られています。また、定規に2つの印をつけてよい（ネウシス）なら、角の三等分ができます。作図の「できる・できない」は、使ってよい道具によって変わるのです。

一方で、定規を使わずコンパスだけにしても、作図できる点は変わりません（モール＝マスケローニの定理）。