長方形と同じ面積の正方形の作図

1. Bを中心に、Cを通る円をかき、直線ABとの交点（右側）をEとします。BE = BC です。
2. Aを中心に、Eを通る円をかきます。
3. Eを中心に、Aを通る円をかきます。
4. 交点どうしを結び、AEの中点Mを求めます。
5. Mを中心に、Aを通る円（AEを直径とする円）をかき、直線BCとの交点（上側）をFとします。BF² = AB × BC です。
6. Bを中心に、Fを通る円をかき、ABとの交点（左側）をHとします。
7. Fを中心に、Bを通る円をかきます。
8. Hを中心に、Bを通る円をかき、Fの円との交点（B ではない方）をGとします。
9. FとGを結びます。
10. GとHを結べば、正方形HBFGの完成です。

FはAEを直径とする円の上にあるので ∠AFE = 90° です。FBはAEに垂直なので、三角形ABFと三角形FBEは相似になり、AB : BF = BF : BE です。

よって BF² = AB × BE = AB × BC で、BFを1辺とする正方形の面積は長方形ABCDの面積と等しくなります。

HはBF = BHとなるAB上の点、Gは FG = HG = BF の点なので、HBFGは4辺が等しく角Bが直角のひし形、つまり正方形です。