九点円の作図

1. Aを中心に、Bを通る円をかきます。
2. Bを中心に、Aを通る円をかきます。
3. 交点どうしを結び、ABの中点Nを求めます。
4. Bを中心に、Cを通る円をかきます。
5. Cを中心に、Bを通る円をかきます。
6. 交点どうしを結び、BCの中点Lを求めます。
7. Cを中心に、Aを通る円をかきます。
8. Aを中心に、Cを通る円をかきます。
9. 交点どうしを結び、CAの中点Mを求めます。
10. Nを中心に、Lを通る円をかきます。
11. Lを中心に、Nを通る円をかきます。
12. 交点どうしを結び、NLの垂直二等分線を引きます。
13. Lを中心に、Mを通る円をかきます。
14. Mを中心に、Lを通る円をかきます。
15. 交点どうしを結び、LMの垂直二等分線を引きます。2本の交点が九点円の中心Fです。
16. Fを中心に、Nを通る円をかけば九点円の完成です。

N、L、Mは3辺の中点です。Fは NL と LM の垂直二等分線の交点なので FN = FL = FM となり、Fを中心とする円は3つの中点を通ります。

この円は、3つの中点のほかに、各頂点から向かいの辺に下ろした垂線の足3つと、各頂点と垂心を結ぶ線分の中点3つも通ります。合わせて9つの点を通るので「九点円」と呼ばれます。

九点円の半径は外接円の半径のちょうど半分で、中心は外心と垂心を結ぶ線分の中点にあります。