三角形に内接する正方形の作図

1. Bを中心に、Cを通る円をかきます。
2. Cを中心に、Bを通る円をかき、下側の交点をXとします。
3. Xを中心に、Bを通る円をかきます。この円はCも通ります。
4. CとXを結ぶ直線を引き、Xの円との交点（C ではない方）をZとします。CZはこの円の直径です。
5. BとZを結ぶと、BでBCに垂直な直線です。Bの円との交点（下側）をDとします。
6. Dを中心に、Bを通る円をかき、Cの円との交点（B ではない方）をEとします。BCEDは正方形です。
7. AとDを結び、BCとの交点をPとします。
8. AとEを結び、BCとの交点をQとします。PQが正方形の1辺です。
9. Pを中心に、Qを通る円をかき、ABとの交点をRとします。
10. Qを中心に、Pを通る円をかき、ACとの交点をSとします。
11. PとRを結びます。
12. RとSを結びます。
13. SとQを結べば、内接する正方形PQSRの完成です。

Xの円で、CZは直径なので ∠CBZ = 90° です。よってBDはBCに垂直で、BD = BC、さらにDE = BC、CE = BC なので、BCEDは正方形です。

Aを中心にして正方形BCEDを縮めると、DとEはそれぞれ直線AD、AE上を動き、BとCは辺AB、AC上を動きます。DとEがちょうどBCの上に来たときの像（P、Q）が答えの正方形の下の2頂点です。

残りの2頂点は PR = PQ、QS = PQ で、それぞれAB、ACの上にあります。