線分の三等分の作図

1. Aを中心に、Bを通る円をかきます。
2. Bを中心に、Aを通る円をかき、2つの円の交点をC、Dとします。
3. AとCを結びます。
4. BとDを結びます。（ACとBDは平行です）
5. Cを中心に、Aを通る円をかき、直線ACとのもう1つの交点をC′とします。
6. Dを中心に、Bを通る円をかき、直線BDとのもう1つの交点をD′とします。
7. CとD′を結びます。ABとの交点が1つ目の三等分点です。
8. C′とDを結べば、ABとの交点が2つ目の三等分点です。

四角形ACBDはひし形なので AC ∥ DB です。直線AC上には A、C、C′ が等しい間隔で、直線BD上には B、D、D′ が等しい間隔で並んでいます。

直線CD′ とABの交点をT₁ とすると、AC ∥ BD′ なので三角形T₁AC と三角形T₁BD′ は相似で、相似比は AC : BD′ = 1 : 2 です。よって AT₁ : T₁B = 1 : 2 となり、T₁ はABを3等分する点です。

C′ とDを結ぶ直線についても同じように考えると比が 2 : 1 になり、もう1つの三等分点が得られます。