正十五角形の作図

1. OとAを結ぶ直線（直径）を引き、円とのもう1つの交点をEとします。
2. Aを中心に、Eを通る円をかきます。
3. Eを中心に、Aを通る円をかきます。
4. 交点どうしを結ぶと、AEに垂直な直径です。円との交点（上側）をTとします。
5. Eを中心に、Oを通る円をかき、もとの円との交点をU、Vとします。Uは、Aから120° の位置（正三角形の頂点）です。
6. UとVを結び、OEとの交点をN（OEの中点）とします。
7. Nを中心に、Tを通る円をかき、直径AEとの交点（A側）をWとします。TWが正五角形の1辺の長さです。
8. 「長さを写す」で、TWの長さを半径にしてAを中心とする円をかき、上側の交点をBとします（Aから72°）。
9. Bを中心に、Aを通る円をかき、もとの円との交点をCとします（Aから144°）。
10. 「長さを写す」で、UCの長さ（24° の弦）を半径にしてAを中心とする円をかけば、上側の交点Sが求める頂点です。

Eを中心とする半径OEの円ともとの円の交点Uは、OE = EU = OU の正三角形の頂点なので ∠AOU = 120° です。

半径を1とすると ON = 1/2、OT = 1 なので NT = √5/2、OW = (√5 − 1)/2 です。TW² = 1 + OW² = (5 − √5)/2 となり、これは円に内接する正五角形の1辺の長さの2乗です。よって ∠AOB = 72°、∠AOC = 144° です。

∠UOC = 144° − 120° = 24° なので、弦UCを写したSは ∠AOS = 24° = 360° ÷ 15 を満たし、正十五角形のとなりの頂点です。